Elementy metod numerycznych

Książka jest próba przybliżenia wybranych działów analizy numerycznej stanowiącej bazę współczesnych technik obliczeniowych. Zebrany materiał został podzielony na osiem rozdziałów. Autorzy dokonali wyboru najważniejszych zagadnień matematyki stosowanej. W podręczniku zebrano wiadomości dotyczące: arytmetyki zmiennioprzecinkowej Fl, teorii błędu interpolacji, aproksymacji, metod rozwiązywania równań i układów równań, wielomianów ortogonalnych, całkowania numerycznego (kwadratur) oraz metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcia o których mowa w podręczniku, są ilustrowane w przystępny sposób wieloma przykładami. Każdy dział zawiera duży wybór zadań o różnym stopniu trudności. Wszystkie twierdzenia i ich dowody oraz uwagi, przykłady i zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania zostały starannie zredagowane pod względem merytorycznych i stylistycznym. Prezentowane treści mogą stanowić cenną pomoc dydaktyczną dla studentów matematyki i informatyki interesujących się metodami numerycznymi.

SPIS TREŚCI

PRZEDMOWA

1. ELEMENTY TEORII BŁĘDU
1.1. Wprowadzenie
1.2. Błąd bezwzględny i względny
1.3. Błąd funkcji wielu zmiennych
1.3.1. Podstawowe pojęcia
1.3.2. Dodawanie i odejmowanie
1.3.3. Mnożenie i dzielenie
1.4. Problem odwrotny teorii błędów
1.5. Reprezentacja liczb rzeczywistych w arytmetyce fl
1.5.1. Podstawowe pojęcia
1.5.2. Równość i nierówność w sensie jeden
1.5.3. Działania w arytmetyce fl
1.5.4. Obliczanie iloczynów i sum w arytmetyce fl
1.6. Zadania do samodzielnego rozwiązania
2. INTERPOLACJA
2.1. Schemat Hornera
2.2. Interpolacja Lagrange’a
2.2.1. Zadanie interpolacji Lagrange’a
2.2.2. Oszacowanie błędu interpolacji Lagrange’a
2.3. Wielomian interpolacyjny Newtona
2.3.1. Postać Newtona wielomianu interpolacyjnego
2.3.2. Ilorazy różnicowe
2.3.3. Ilorazy różnicowe funkcji oparte na węzłach wielokrotnych
2.4. Interpolacja Hermite’a
2.5. Aproksymacja interpolacyjna
2.6. Interpolacja funkcjami sklejanymi
2.6.1. Określenie funkcji sklejanych
2.6.2. Wyznaczanie funkcji sklejanych stopnia trzeciego z węzłami dowolnymi
2.6.3. Wyznaczanie funkcji sklejanych stopnia trzeciego z węzłami równoodległymi
2.6.4. Reszta s-f interpolacyjnej funkcji sklejanej stopnia trzeciego
2.7. Zagadnienie interpolacji trygonometrycznej
2.8. Zadania do samodzielnego rozwiązania
3. CIĄGI WIELOMIANÓW ORTOGONALNYCH
3.1. Podstawowe pojęcia
3.2. Własności ciągów wielomianów ortogonalnych
3.3. Wielomiany Czebyszewa
3.4. Wielomiany Hermite’a
3.5. Wielomiany Legendre’a
3.6. Zadania do samodzielnego rozwiązania
4. APROKSYMACJA
4.1. Wprowadzenie
4.2. Sformułowanie zadania aproksymacji
4.3. Aproksymacja w przestrzeniach unitarnych
4.4. Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami
4.5. Aproksymacja jednostajna
4.6. Zadania do samodzielnego rozwiązania
5. METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
5.1. Podstawowe pojęcia
5.2. Metody bezpośrednie rozwiązywania układów równań
5.2.1. Metoda eliminacji Gaussa
5.2.2. Metoda LU rozwiązywania układów równań
5.2.3. Metoda Banachiewicza pierwiastków kwadratowych
5.3. Metody pośrednie (iteracyjne) rozwiązywania układów równań
5.3.1. Podstawowe pojęcia
5.3.2. Metoda Jacobiego
5.3.3. Metoda Gaussa–Seidla
5.4. Zadania do samodzielnego rozwiązania
6. KWADRATURY (NUMERYCZNE CAŁKOWANIE)
6.1. Podstawowe pojęcia
6.2. Liniowa zamiana zmiennej w kwadraturze
6.3. Kwadratury interpolacyjne oparte na interpolacji Lagrange’a
6.4. Błąd kwadratury opartej na interpolacji Lagrange’a
6.5. Kwadratury Newtona–Cotesa
6.6. Złożone kwadratury Newtona–Cotesa
6.6.1. Wiadomości wstępne
6.6.2. Złożony wzór trapezów
6.6.3. Złożona kwadratura Simpsona
6.7. Kwadratury Gaussa
6.7.1. Maksymalny rząd kwadratury
6.7.2. Oszacowanie reszty kwadratury Gaussa
6.7.3. Kwadratury Gaussa–Legendre’a
6.7.4. Kwadratury Gaussa–Czebyszewa
6.7.5. Kwadratury Gaussa–Hermite’a
6.8. Zadania do samodzielnego rozwiązania
7. PRZYBLIŻONE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
7.1. Zagadnienie lokalizacji pierwiastków
7.1.1. Wiadomości wstępne
7.1.2. Metoda Sturma
7.1.3. Metoda Fouriera
7.2. Metody kolejnych przybliżeń
7.2.1. Wiadomości wstępne
7.2.2. Metoda stycznych (Newtona)
7.2.3. Metoda Herona wyznaczania pierwiastka kwadratowego
7.2.4. Metoda regula falsi
7.2.5. Metoda siecznych
7.2.6. Metoda bisekcji
7.2.7. Metoda Steffensena i jej modyfikacje
7.2.8. Metoda iteracji
7.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania
8. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
8.1. Podstawowe pojęcia
8.2. Metoda Eulera
8.3. Modyfikacje metody Eulera
8.3.1. Metoda Heuna („ulepszona metoda Eulera”)
8.3.2. Zmodyfikowana metoda Eulera
8.4. Oszacowanie błędu metody Eulera
8.5. Metody Rungego–Kutty
8.5.1. Zgodność i jawność metody
8.5.2. Rząd dokładności metody przybliżonej
8.5.3. k-etapowe metody Rungego–Kutty
8.6. Zadania do samodzielnego rozwiązania
9. LITERATURA